Урок
по теме: «Правильные многогранники».
Тип урока: изучение нового материала.
Цель урока: дать понятия правильного
многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников, рассмотреть свойства
многогранников, познакомить с историей возникновения и развития теории
многогранников.
Словарь: ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК, ТЕТРАЭДР, ГЕКСАЭДР (КУБ), ОКТАЭДР, ДОДЕКАЭДР,
ИКОСАЭДР.
Задачи урока:
- Формирование пространственных представлений учащихся.
- Развитие
практических навыков учащихся по изготовлению правильных, полуправильных,
звездчатых многогранников.
3. Развитие умения наблюдать, умения
рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных
технологий;
4. Воспитание общетрудовых умений,
графической культуры.
5. Пополнить словарь новыми словами.
Ход урока.
1.Организационный момент.
2. Целеполагание.
Есть
в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая
встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести
тему"Правильные многогранники". Здесь не только открывается
удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и
интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким
совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы
узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы,
как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их
существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел
Кеплера- Пуансо? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам
нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный
материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранников» и при решении
задач на комбинацию геометрических тел.
3. Изучение нового материала.
Мне хотелось бы
начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и
высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и
стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим
образцам искусства”. Название “правильные” идет от античных времен, когда
стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке.
Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все
углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные
правильными и одинаковыми многоугольниками.
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый
многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и
тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число
ребер.
ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из
четырех правильных треугольников.
ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из
шести правильных четырехугольников (квадратов
ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми
правильных треугольников.
ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из
двенадцати правильных пятиугольников.
ИКОСАЭДР – правильный
многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных
треугольников. Названия этих
многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» -
4
«гекса» -
6
«окта» -
8
«икоса» -
20
«додека»
- 12
Все правильные
многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена
заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как говорилось раньше,
эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической
картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них
олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр
– воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его
по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все
самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.
Правильные
многогранники в философской картине мира Платона»
Правильные
многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное
место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней
Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).
Платон считал, что
мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих
«стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял
огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени;
икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур –
землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя
состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый
многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из
первых попыток ввести в науку идею систематизации.
А теперь от
Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный
немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).
«Кубок
Кеплера»
Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные
таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной
системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В
этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн
Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения,
предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и
шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому
предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается
сфера орбиты Юпитера.
В неё, в свою
очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу
орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А
она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой
планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая
модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка»
Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна
мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный
уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе
силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в
третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних растояний от Солнца.
Сегодня можно с уверенностью утверждать, что
расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками.
Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины,
по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера
оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы,
бредовых, не может существовать наука.
«Икосаэдро-додекаэдровая
структура Земли»
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников
с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в
интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские
инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и
свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех
природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его
силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7).
Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в
земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль
икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников,
называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих
объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших
культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и
другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления,
гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс,
Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение
к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают
важное место.
А сейчас от
научных гипотез перейдём к научным фактам.
4. Практическая работа.
Работа в группах.
1 группа- доказать, что
правильных многогранников 5.
2 группа- вывести формулы полной
поверхности правильных многогранников.
3 группа- заполнить таблицы и
сделать вывод.(модели).
4
группа- нарисовать развертки (на компьютере).
Правильный многогранник
|
Число
|
||
граней
|
вершин
|
рёбер
|
|
Тетраэдр
|
|||
Куб
|
|||
Октаэдр
|
|||
Додекаэдр
|
|||
Икосаэдр
|
|||
Правильный многогранник
|
Число
|
|
граней и вершин
(Г + В)
|
рёбер
(Р)
|
|
Тетраэдр
|
||
Куб
|
||
Октаэдр
|
||
Додекаэдр
|
||
Икосаэдр
|
||
5. Отчет групп о работе.
Один
представитель группы отчитывается о результатах .
Учащиеся
делают соответствующие записи в тетради.
- формулы площадей;
- теорему
Эйлера.
6. Дополнительные сведения.
Кроме пяти
правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела
Архимеда.
Архимедовы
тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани
многогранника попарно совпадут друг с другом.
Кроме полуправильных
многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить
так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два
были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти
двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859
гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел
Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г .) Луи Пуансо
перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не
решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых
отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811
году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе
«Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других
правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу,
что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных
многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из
каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные
звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не
имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму
(это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).
Луи Кэрролл писал: "Правильных многогранников
вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в
самые глубины различных наук".
В глубины каких наук пробрались правильные
многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать?
7. Доклады
учащихся.
Правильные многогранники и химия – Плешканева В.
Правильные многогранники в биологии – Быстрицкий Д.
Ювелирные украшения – Исаев М.
8. Подведение
итогов. Выставление оценок.
9. Домашнее
задание.
Изготовить модели правильных
многогранников. По желанию - полуправильных и звездчатых.
10 Рефлексия.
-Что понравилось на уроке?
-Какой материал был наиболее
интересен?
-В каких еще областях
деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?
Решение задач по физике в 7 классе
Комментариев нет:
Отправить комментарий